在我们的日常生活中，经常会遇到不确定的事物，最简单的例子莫过于抛硬币正面向上的可能性，其次还有袋子里有数目不等的红球和黑球，摸出红球的可能性，某次考试成绩在90分以上的可能性等等。

概率的概念到底是一个客观的概念还是一个主观的观念，是一个值得认真思考并讨论的问题。在古典的科学领域里，概率是一个蕴含在系统内部客观存在的事物，抛硬币正面向上的概率在抛硬币以前就已经存在，只有当我们抛掷无数次硬币并统计结果之后，才能逐渐逼近并发现这个概率的本来面目，而这个统计值是不随人的意志而转移的。因此人们发现如果大量重复某个随机实验，在这大量的随机实验背后，存在某种几乎必然的规律起着某种支配作用。而这种规律后来被称为大数定律，大数定律第一次将概率论与决定论，随机性与必然性在某种程度上统一了起来。

当两次随机实验彼此没有任何关联时可以认为是相互独立的，此时的概率规则比较简单，两个硬币同时正面向上的概率是每个硬币单独正面向上概率的乘积。然而如果两个随机事件之间存在关联，那么事件A会影响到事件B发生的概率，反之亦然。此时就需要引入条件概率的概念。事件A或B单独发生的概率称为先验概率，而在事件A已经发生后事件B发生的概率则称为条件概率，计算条件概率有一个著名的贝叶斯公式，它可以帮助我们在知道事件结果发生的概率的情况下计算事件原因发生的概率。也就是说，对于一系列存在相互关联的随机事件来说，如果我们获取了某个随机事件的部分或全部信息，就会改变与之存在关联的其它事件的概率。当我们对某个事件知道的越多，与之关联的事件不确定性也会越小。

这样的图景会引起一系列的思考，例如，某个事件的概率是否与实验者自身的知识量有关。为什么两个同班同学面对同样的考试，一个总是得90分以上，而另一个总是不及格。再比如，某人只知道从A地到B地有两条路，那么他会认为自己走其中一条路的概率是1/2，而另一个人知道其中一条路近，那么他会认为自己走近路的可能性会大于1/2。即使在最简单的抛硬币实验中，如果一个是普通人，而另一个是那个在古典物理学中通晓一切的拉普拉斯妖呢？对于拉普拉斯妖来说，他不仅可以准确的预测每个硬币抛出后的结果，甚至可以通过某种途径（比如吹气）来改变硬币落地后的实验结果。

法国学者贝特朗于1899年提出了一个后来称之为贝特朗悖论的问题：在一个给定的圆内所有的弦中任取一条弦，求该弦的长度大于圆的内接正三角形边长的概率。

如果在垂直于等边三角形中任意一条边的直径上随机取一个点，同时做垂直于这条直径的弦，可以求出概率为1/2；如果任取等边三角形的一个顶点，做过该顶点的圆的弦，可以求出概率为1/3；如果做等边三角形的内切圆，当弦的中点在内切圆内时，即为所求，内切圆面积是大圆面积的1/4，由此可以求出概率为1/4。